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京大数学第2問から入門する合同式

さっそく出てきたので見てみると, 第2問だけめちゃめちゃ簡単でしたね. というわけで, 解説っぽい解説を書いてみることにしました. 本番であれば5分問題でしょう(某JMO銅賞の言葉). 

実験

一応, いくつかの場合で実験してみましょう. めんどくさいので Wolfram Alpha に投げてみます. 

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どうやら, 全部3の倍数になりそうですね. 証明してみましょう. 

解答

定義(合同式整数 a, bn で割った余りが等しいとき, a\equiv b\bmod n と表す.
補題  
n^3-7n+93 の倍数である.
証明  n\in\bf{Z} より, 次のように場合分けされる.

  • n\equiv0\bmod3 のとき
    n^3-7n+9\equiv0^3-7\cdot0+0\equiv0\bmod3 より, 3 の倍数.
  • n\equiv\pm1\bmod3 のとき
    n^3-7n+9\equiv\pm1\mp7+0\equiv0\bmod3 より, 3の倍数.

よって, 示された. \quad\blacksquare

ここで, 3の倍数かつ素数である数は, 3のみである.
ゆえに, 条件を満たす nn^3-7n+9=3 のみであり, これは n^3-7n+6=(n-1)(n-2)(n+3)=0 に同値. よって, n=1,2,-3 であり, たしかに代入してみるとこれらが条件を満たすことがわかる. \quad\blacksquare

 

-3って割と盲点だなと思いました(これが自然数なら文字通り瞬殺なんですが). 本番でも1,2だけで済ませている受験生もいそうです.

開成中の算数第4問を瞬殺してみた

今年(2018年)の開成中の算数は非常に易化しましたね. なんでこんなに簡単になったのかというぐらい, ぬるま湯でした. 第1問は簡単な小問集合, 第2問は大して面白くもない計算ゲー, 第3問は次のような問題, これで終わりという具合です.

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なんか難しそうに見えますが, よく読んでみると簡単なことを言っています. 少し書いてみましょう.

a マス四方の正方形に m から連続する n 個の自然数 m,m+1,\dots,m+n-1ちょうど敷き詰められるとは, \dfrac{1}{2}n(2m+n-1)=a^2 が成立することである. ここで題意より, 3\leq n\leq 2m+n-1 かつ n2m+n-1 の偶奇が異なることに注意せよ.

7マス四方に敷き詰められるとは、 \dfrac{1}{2}n(2m+n-1)=7^2\Longleftrightarrow n(2m+n-1)=2\cdot7^2 と同値. これを解いて n=1,2,7 を得, 題意より n=1,2 は不適なので n=7. このとき 2m+n-1=14 より、(n,m)=(7,4). すなわち (4,5,6,7,8,9,10) \cdots(1) を並べればよい.

10マスの場合も同様にして, (9,10,11,12,13,14,15,16), (18,19,20,21,22) \cdots(2) を得る. 30マスの場合は n=3,5,8,9,15,24,25,40 を得, これは8種類. \cdots(3)

実際に解くときは5分ぐらいでしたから, 瞬殺ではないですね. 素因数分解したりする必要はたしかにあります.  

 

「難しくしすぎると数学が出来なくても通ってしまうので, 基礎的なことを聞くよう努めている」と教師の誰かが言っていましたが, 最近はやり過ぎではないかなとふと思いました.

和訳 Bring Me The Horizon "Go To Hell, For Heaven's Sake"

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Bring Me The Horizon って初期の頃はなんかごちゃごちゃってした音で嫌いなんですが(多分洗練されていない)、ここら辺のSempiternalからとてもいい感じになっています。That's the Spiritも名盤なんですが、特にSempiternalの時代はOliverが薬物をやっていたこともあるのか、爽快感溢れるサウンドが多いです。

ペースを奮い立たせるために疾走感があって楽しい曲を作ろうとしたんだ、そしてこの曲は多分このCDの中で一番楽しい曲だと思うよ!

とOliverも言っています。

 

[Verse1]

For the love of God,
Will you bite your tongue
Before we make you swallow it?

後生一生のお願いでございますが、
舌を噛み切って飲み込んでいただけませぬか?

It's moment like this where silence is golden
And then you speak

「沈黙は金」って状況なのにさ
お前はペチャクチャ喋り出すんだ

No one wants to hear you!
No one wants to see you!

お前の声なんか見たくねえよ!
お前の顔なんか見たくねえよ!

So desperate and pathetic!
I'm begging you to spare me!
The pleasure of your company!

絶望的で哀れな男だ!
頼むから俺を傷つけないでくれ!
お前らの楽しみのためだけに!

When did the diamonds leave your bones?

お前はもう光り輝くダイアモンドなんかじゃない

 

[Chorus]

I'm burning down every bridge we make!
お前との思い出なんて全て消してやる!

I'll watch you choke on the hearts you break!
お前がぶち壊してきたもので喘ぎ死ぬ姿を見届けてやる!

I'm bleeding out every word you said!
お前の言葉で体中血だらけだ!

Go to Hell for Heaven's sake!
神の名にかけて地獄に堕ちろ!*1

(以下、繰り返しが続く)

 

[Bridge]

You're not a shepherd
You're just a sheep

お前は誰かについていくことしかできない

A combined effort of everyone you meet

結局は他人の見よう見まねの塊だ

You're all flesh with no bone

骨のない肉片に過ぎないお前を

Feed them to the sharks
And throw them to the wolves

鮫のエサとし、狼の中に放り込んでやる

 

[Chorus]

 

この曲を聴くと鳥肌が立ってきます。メンヘラっぽい曲で僕はとても大好きです。

*1:HellとHeavenの対比が自然な形で使われている言葉遊びになっています。for Heaven's sakeをうまいこと訳すのが難しかったので、神の名にかけて、と苦し紛れの訳を与えました。

【和訳】Fall Out Boy "Sugar, We're Goin' Down"

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この歌は2005年の2ndアルバム"From under the coak tree"に収録され、Fall Out Boyがその名を馳せる第一歩となりました。ベースのピート・ウェンツはこのようにローリングストーン誌で述べています。

僕はシカゴでこの歌を書いたんだ。そのとき父親と一緒にいて、僕らは古き良き音楽に耳を傾けていたんだ。そこには「シュガー」とか「ハニー」とか、そんな感じの甘い言葉がいつも流れていた。それで、「なんでみんなはこんな風に歌を作らないんだ?」みたいに思っちゃってさ。カリフォルニアで一気に片付けちゃったね。

また、この曲の歌詞が意図的に不明瞭に発音されていることに対してボーカルのパトリック・スランプは同誌で

正統派なパンクを楽しもうと頑張ってたんだ。僕はこの歌詞を見て、最初はこう、デカい声で吠えるように歌ってたわけさ。だけど、なんだかリズムについて何か突っかかるような、そうだね、「うーん、これはただのパンクには『良すぎる』歌だな」って感じだったかな。

と述べています。PVはとても象徴的で、角が生えた社会的に疎外された男が恋人の父親に嫌われて、父親との関係がどうにかなるよう望んだ上で角を切ろうとしますが、彼にも蹄があったことを知り、互いのことを理解するようになりました。

[Verse 1]
Am I more than you bargained*1 for yet
I've been dying to tell you anything you want to hear
'Cause that's just who I am this week
Lie in the grass, next to the mausoleum
I'm just a notch in your bedpost*2 but you're just a line in a song
(Notch in your bedpost but you're just a line in a song)
 

僕はまだ君と恋の駆け引きができる存在なの?
君が聞きたいことなら何でも伝えてあげる
そうしたくて死んでしまいそうだ
なんてったってそれこそが今週の僕があるべき姿だろう?
だから来週もいつまでも僕のことを捨てないでくれ
芝生の上に寝っ転がるように生き生きとした恋を楽しみながら
墓地に隣り合わせの儚い恋を憐れみながら
君にとって僕は「そこらへんの男」かもしれないけど
僕にとって君は「かけがえのない人」なんだよ

 

[Pre-Chorus]
Drop a heart, break a name*3
We're always sleeping in and sleeping for the wrong team

おもちゃみたいに捨てられて
あいつのことをけなしてやって
まどろみの中に過ごしたせいで
僕たちはロクでもない奴らと寝続けている

[Chorus]
We're going down, down in an earlier round
And sugar, we're going down swinging
I'll be your number one with a bullet
A loaded God complex*4, cock it and pull it
(×2)

俺たちはダウンしそうだ
一ラウンドの序盤でダウンだよ
なあシュガー(おまえ)
俺たちのパンチは空振りしながら
ダウンしているんだ
僕は君の最初の弾丸になってみせる
絶対的な力を君の銃に込めて
狙いを定めて引き金に手をかけろ

[Verse 2]
Is this more than you bargained for yet
Oh, don't mind me, I'm watching you two from the closet*5
Wishing to be the friction in your jeans
Isn't it messed up how I'm just dying to be him?
I'm just a notch in your bedpost but you're just a line in a song
(Notch in your bedpost but you're just a line in a song)

こんな結果になるなんてそこまで計算のうちだったのか?
いや、気にしないでくれ、大丈夫だよ
君たち二人のことをずっと見守っているからさ
君のジーンズのほつれにでもなれたらどんなに嬉しいかなって思いながら
あいつになりたいって死ぬほど思いながら
こんなのムチャクチャだろう?
君にとって僕は「そこらへんの男」かもしれないけど
僕にとって君は「かけがえのない人」なんだよ

[Pre-Chorus]
Drop a heart, break a name
We're always sleeping in and sleeping for the wrong team

[Chorus]
We're going down, down in an earlier round
And sugar, we're going down swinging
I'll be your number one with a bullet
A loaded God complex, cock it and pull it
(×2)

[Outro/Chorus]
We're going down, down in an earlier round
(Take aim at myself)
And Sugar, we're going down swinging
(Take back what you said)
I'll be your number one with a bullet
(Take aim at myself)
A loaded God complex, cock it and pull it

*1:bargainは自動詞で「交渉する、駆け引きをする」という意味で、forやwith, overと結びつきます。当初は彼女も恋の駆け引きをしていたが、今では危ういという状況がわかるでしょう。この行だけはまだ別れていないときの歌詞ですが、あとは別れた後の歌詞になっています。

*2:a notch in your bedpostとは、誰かとセックスするときに寝具の柱にヤった人数分の傷をつけることを意味しています。

*3:namedropping, heartbreakingの入れ替えになっています。

*4:一番訳すのに迷いました。Loaded gun「弾が装填された銃」とGod complex「神のような強大な力への劣等感」を掛けた言葉で、神のような存在である彼女になぞらえています。

*5:エロ漫画とかでもクローゼットから恋人がNTRれているシーンってありますよね、訳では省きましたがそういうイメージです。