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開成中の算数第4問を瞬殺してみた

今年(2018年)の開成中の算数は非常に易化しましたね. なんでこんなに簡単になったのかというぐらい, ぬるま湯でした. 第1問は簡単な小問集合, 第2問は大して面白くもない計算ゲー, 第3問は次のような問題, これで終わりという具合です.

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なんか難しそうに見えますが, よく読んでみると簡単なことを言っています. 少し書いてみましょう.

a マス四方の正方形に m から連続する n 個の自然数 m,m+1,\dots,m+n-1ちょうど敷き詰められるとは, \dfrac{1}{2}n(2m+n-1)=a^2 が成立することである. ここで題意より, 3\leq n\leq 2m+n-1 かつ n2m+n-1 の偶奇が異なることに注意せよ.

7マス四方に敷き詰められるとは、 \dfrac{1}{2}n(2m+n-1)=7^2\Longleftrightarrow n(2m+n-1)=2\cdot7^2 と同値. これを解いて n=1,2,7 を得, 題意より n=1,2 は不適なので n=7. このとき 2m+n-1=14 より、(n,m)=(7,4). すなわち (4,5,6,7,8,9,10) \cdots(1) を並べればよい.

10マスの場合も同様にして, (9,10,11,12,13,14,15,16), (18,19,20,21,22) \cdots(2) を得る. 30マスの場合は n=3,5,8,9,15,24,25,40 を得, これは8種類. \cdots(3)

実際に解くときは5分ぐらいでしたから, 瞬殺ではないですね. 素因数分解したりする必要はたしかにあります.  

 

「難しくしすぎると数学が出来なくても通ってしまうので, 基礎的なことを聞くよう努めている」と教師の誰かが言っていましたが, 最近はやり過ぎではないかなとふと思いました.