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京大数学第2問から入門する合同式

さっそく出てきたので見てみると, 第2問だけめちゃめちゃ簡単でしたね. というわけで, 解説っぽい解説を書いてみることにしました. 本番であれば5分問題でしょう(某JMO銅賞の言葉). 

実験

一応, いくつかの場合で実験してみましょう. めんどくさいので Wolfram Alpha に投げてみます. 

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どうやら, 全部3の倍数になりそうですね. 証明してみましょう. 

解答

定義(合同式整数 a, bn で割った余りが等しいとき, a\equiv b\bmod n と表す.
補題  
n^3-7n+93 の倍数である.
証明  n\in\bf{Z} より, 次のように場合分けされる.

  • n\equiv0\bmod3 のとき
    n^3-7n+9\equiv0^3-7\cdot0+0\equiv0\bmod3 より, 3 の倍数.
  • n\equiv\pm1\bmod3 のとき
    n^3-7n+9\equiv\pm1\mp7+0\equiv0\bmod3 より, 3の倍数.

よって, 示された. \quad\blacksquare

ここで, 3の倍数かつ素数である数は, 3のみである.
ゆえに, 条件を満たす nn^3-7n+9=3 のみであり, これは n^3-7n+6=(n-1)(n-2)(n+3)=0 に同値. よって, n=1,2,-3 であり, たしかに代入してみるとこれらが条件を満たすことがわかる. \quad\blacksquare

 

-3って割と盲点だなと思いました(これが自然数なら文字通り瞬殺なんですが). 本番でも1,2だけで済ませている受験生もいそうです.